Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R},x_0\in{\Bbb R}^n\)
\(f\) est différentiable en \(0\) s'il existe une application linéaire \(l:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) telle que : $$\lim_{\lVert h\rVert\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-l(h)}{h}=0$$
I.e. Si \(f\) admet un DL à l'ordre \(1\) en \(x_0\)
On note \(df(x_0)\) cette fonction \(l\)
(Développement limité, Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
On appelle différentielle de \(f\) au point \(M_0\in\Omega\subset\Bbb R^m\), et on note \(df_{M_0}\), l'application qui au vecteur \(\overrightarrow{\Delta M}\) (\(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j\in\Bbb R^2\) ou \(\overrightarrow{\Delta M}=h\vec i+k\vec j+l\vec k\in\Bbb R^3\)), associe la partie linéaire du développement limité de \(f\) à l'ordre \(1\) en \(M_0\) : $$df_{M_0}:\begin{align}\Bbb R^m&\to\Bbb R\\ df_{M_0}(\overrightarrow{\Delta M})&={{\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}_{M_0}\cdot\overrightarrow{\Delta M} }}\end{align}$$
La fonction \(f\) se dit alors différentiable en \(M_0\)
(Développement limité)
Définition :
Soit $$\begin{align} F&:{\Bbb R}^n\longrightarrow{\Bbb R}^p\\ F&=(f_1,\ldots,f_p)\end{align}$$
La différentielle de \(F\) est $${{dF(x)}}={{(df_1(x),\ldots,df_p(x))}}$$
Si \(f\) est différentiable, alors ses dérivées partielles existent et : $${{df(x_0)(h)}}={{\sum^n_{i=1}h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}$$
Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)}}={{df(x_0)(0,\ldots,\underbrace{1}_{i\text{eme élément} },\ldots,0)}}$$
(Dérivée partielle)
Si \(f\) est différentiable, alors on a : $${{D_vf(x_0)}}={{df(x_0)(v)}}$$
(Dérivée directionnelle)
Si \(f\) est linéaire, alors $$df(x_0)=f$$
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Théorème :
Soit \(f:\Omega\subset\Bbb R^m\to\Bbb R\)
Si \(f\) est différentiable en \(M_0\in\Omega\), alors toutes les dérivées directionnelles et dérivées partielles de \(f\) existent en \(M_0\)
(Dérivée directionnelle, Dérivée partielle)
Proposition :
La matrice de l'application linéaire \(dF(x)\) est : $$J_F(x)$$
(Matrice d’une application linéaire, Matrice jacobienne - Jacobienne)
